研究人员发现某种特别物质的温度y随时间x的变化规律是：y=m2x+21-x．如果m=2，求经过多少时间

题文

研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，当m=2，则2•2^x+2^1-x=5----------------（2分）
解得x=1或x=-1；  由x≥0，∴x=1-----------（5分）
故经过1时间，温度为5摄氏度；-------------------------------（6分）
（2）由题意得m2^x+2^1-x≥2对一切x≥0恒成立，-------（7分）
则 由2^x＞0，得 m≥22x-2(2x)2---------------------（9分）
令t=2^-x则0＜t≤1，f(t)=-2t2+2t=-2(x-12)2+12------------------（11分）
当t=12时，取得最大值为12；-------------------------（12分）
∴m≥12故的取值范围为[12，+∞)----------------（14分）

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解析

22x

考点

据考高分专家说，试题“研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.