如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视

题文

如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．
（1）试将y表示成x的函数；
（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA
∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）=tan∠DPB-tan∠DPA1+tan∠DPBtan∠DPA=32x-25x1+32x•25x
∴y=7xx2+800(x＞0)；
（2）y=7x+800x≤72800=7280，当且仅当x=202m时，取等号
∴x=202m时，y=tan∠APB取得最大值
∵∠APB∈(0，π2)
∴x=202m时，∠APB取得最大值．

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解析

tan∠DPB-tan∠DPA1+tan∠DPBtan∠DPA

考点

据考高分专家说，试题“如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽A.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.