题文
已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 题型：未知 难度：其他题型
答案
解（1）依题意，设y=kω2（ω＞0），当ω=3时，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω2（ω＞0）．
（2）设这块矿石的重量为a克，由（1）可知，
按重量比为1：3切割后的价值为；6000(14a)2+6000(34a)2，
价值损失为；6000a2-(6000(14a)2+6000(34a)2)，
价值损失的百分率为；6000a2-[6000(14a)2+6000(34a)2]6000a2×100%=37.5%．
（3）解法1：若把一块该种矿石按重量比为m：n切割成两块，价值损失的百分率应为；1-[(mm+n)2+(nm+n)2]=2mn(m+n)2，又2mn(m+n)2≤2•(m+n2)2(m+n)2=12，
当且仅当m=n时取等号，即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x：1，则价值损失的百分率为；1-[(x1+x)2+(11+x)2]=2xx2+2x+1，又x＞0，∴x2+1≥2x，
故2xx2+2x+1≤2x2x+2x=12，当且仅当x=1时等号成立．
答：（1）函数关系式y=6000ω2（ω＞0）；
（2）价值损失的百分率为37.5%；
（3）故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
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解析
14考点
据考高分专家说，试题“已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
