把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器，设容器的高为x，容积为V．写出

题文

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6-23x)（1分）．
则V(x)=34(6-23x)2x（4分）
函数的定义域为(0，3)（5分）
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，3)上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间(0，3)内，V′(x)=93x2-36x+93（7分）
令V′（x）=0，即令93x2-36x+93=0，解得x1=33，x2=3(舍去)．
因为x1=33在区间(0，3)内，x₁可能是极值点．当0＜x＜x₁时，V′（x）＞0；
当x1＜x＜3时，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是极大值点，且在区间(0，3)内，x₁是唯一的极值点，
所以x=x1=33是V（x）的最大值点，并且最大值 f(33)=4
即当正三棱柱形容器高为33时，容器的容积最大为4．

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.