某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，到2011年底该地区的绿化率只有30%，计划从2012年开始加大沙漠化改造的力度，每年将原来沙漠面积的16%改造为绿洲，

题文

某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，到2011年底该地区的绿化率只有30%，计划从2012年开始加大沙漠化改造的力度，每年将原来沙漠面积的16%改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．
（1）设该地区的总面积为a，2011年底的绿洲面积为a1=310a，经过一年治理后绿洲面积为a₂，…，经过n年后绿洲面积为a_n+1，求证：an+1=45an+425；
（2）问至少需要经过多少的努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（参考数据：lg2=0.3） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设2011年底沙漠面积为b₁，经过n年沙漠面积为b_n+1，则a₁+b₁=a，
依题意，a_n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%a_n，另一部分是新绿洲化的面积16%b_n，
∴a_n+1=96%a_n+16%b_n=45a_n+425a；
（2）由（1）可知a_n+1-45a=45（a_n-45a）
∴{a_n-45a}是以-12a为首项，45为公比的等比数列
∴a_n+1=45a-12a×(45)n
依题意：45a-12a×(45)n＞60%a
∴(45)n＜25
∴n＞lg25lg45=1-2lg21-3lg2=4
∴至少需要5年才能达到目标．

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解析

45

考点

据考高分专家说，试题“某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.