某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售2000件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术的含金量提高，市场分析的结

题文

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售2000件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术的含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．设改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（1）当销售价提高的百分率为0.1时，月利润是多少？
（2）写出y与x的函数关系式；
（3）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当销售价提高的百分率为0.1时，销售价是22元
月平均销售量减少的百分率为0.01，
月平均销售量为2000（1-0.01）（元）                 …（1分）
月利润是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元     …（2分）
（2）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x²）
件，则月平均利润2000（1-x²）[20（1+x）-15]（元），
∴y与x的函数关系式为：y=2000（1-x²）[20（1+x）-15]（0＜x＜1），y=10000（-4x³-x²+4x+1）…（4分）
（3）由y'=10000（4-2x-12x²）=0，得x1=12，x=-23（舍），
当0＜x＜12时y'＞0；12＜x＜1时y'＜0，∴函数在x=12取得最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为20(1+12)=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．…（8分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.