某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时

题文

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知：存款量f（x）=kx²，
当利率为0.012时，存款量为1.44亿，
即x=0.012时，y=1.44；
由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，
∴f（x）=10000x²，
银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，
设银行可获收益为y=贷款收益-利息支出，
则y=480x²-10000x³，
由于y'=960x-30000x²，则y'=0，
即960x-30000x²=0，得x=0或x=0.032．
因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，
此时，函数y=480x²-10000x³递增；
x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，
此时，函数y=480x²-10000x³递减；
故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.