已知函数f(x)=2lnx+1-x2x求函数f的单调区间；利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤(1+1x)•|x-1|．并利用不等式结论比较

题文

已知函数f(x)=2lnx+1-x2x
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤(1+1x)•|x-1|．并利用不等式结论比较ln²（1+x）与x21+x的大小．
（3）若不等式(n+a)ln(1+1n)≤1对任意n∈N^*都成立，求a的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=2lnx+1-x2x，定义域x|x＞0
f′(x)=2x+-2x×x-(1-x2)x2=-(x-1)2x2≤0
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对2|lnx|≤(1+1x)•|x-1|
当x≥1时，原不等式变为2lnx≤(1+1x)•(x-1)=x2-1x
由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，2lnx+1-x2x≤0即2lnx≤1-x2x成立
当0＜x≤1时，原不等式变为-2lnx≤(1+1x)•(1-x)，即2lnx≥x2-1x
由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0时，2|lnx|≤(1+1x)•|x-1|，即|lnx2|≤|x2-1x|，
∴ln2x2≤(x2-1)2x2
用x+1（其中x＞-1）代入上式中的x，可得ln2(x+1)≤x2x+1
（3）结论：a的最大值为1ln2-1
∵n∈N^*，∴ln(1+1n)＞0∵(n+a)ln(1+1n)≤1，∴a≤1ln(1+1n)-n
取x=1n，则x∈（0，1]，∴a≤1ln(1+x)-1x
设g(x)=1ln(1+x)-1x，g′(x)=ln2(x+1)-x2x+1x2ln2(1+x)≤0
∵g（x）递减，
∴x=1时g最小=g(1)=1ln2-1
∴a的最大值为1ln2-1．

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解析

1-x2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2lnx+1-x2x（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.