某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促销活动，确保产销平衡，年产量、年销量均为x万件．已知每生产1万

题文

某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促销活动，确保产销平衡（根据市场情况确定产量，使该年所生产产品刚好全部销售完毕），年产量、年销量均为x万件．已知每生产1万件产品需投入32万元的生产费用，另外该年生产设备折旧、维修等固定费用总共为4万元．每件产品定价为平均每件生产成本的150%进行销售，年销量x万件与年促销费用t万元之间满足关系：6-x=kt+1（k为常数），当年促销费用t=0万元时年销量是x=2万件．
（Ⅰ）将年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（Ⅱ）该企业年促销费投入多少万元时，企业年利润最大？相应年产量及最大年利润为多少？
注：生产成本=固定费用+生产费用  （不包括促销费用）
利润=销售收入-生产成本-促销费． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，x=6-kt+1，将t=0，x=2代入得k=4，
∴年销售量x=6-4t+1，t≥0．
依题意，产销平衡即年产量等于年销量x万件，
∴当年生产量为x万件时，
年生产成本=32x+4=32（6-4t+1）+4=196-128t+1，
平均每件产品生产成本=（196-128t+1）÷x，
年销售收入=[（196-128t+1）÷x]×32x=32(196-128t+1)，
∴年利润y=32(196-128t+1)-（196-128t+1）-t=98-64t+1-t，t≥0．
（Ⅱ）∵y=98-64t+1-t=99-（t+1+64t-1），t≥0
∴t+1+64t+1≥2(t+1)•64t+1=16，
∴当且仅当t+1=64t+1，即t=7时，y_max=99-16=83．
∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大，
此时年产量x=5.5万件，年利润最大值为83万元．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

kt+1

考点

据考高分专家说，试题“某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.