已知函数f=|x-a|，g=x2+2ax+1，且函数f与g的图象在y轴上的截距相等．求a的值；对于函数F

题文

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，则称x₀为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：10f(n)•(45)g(n)＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，(45)9=0.1342，(45)16=0.0281，(45)25=0.0038） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）由（1）知，f(x)+g(x)+b=x2+3x+bx≥1x2+x+2+bx＜1．
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分）
（3）证明：设G(n)=10f(n )•(45)g( n )．
因为n为正整数，
∴G(n)=10n-1•(45) n2+2n+1＞0．                    …（8分）
∴G(n+1)G(n)=10n•(45) (n+1)2+2(n+1)+110n-1•(45) n2+2n+1=10×(45) 2n+3．     …（9分）
当G(n+1)G(n)＜1时，10×(45) 2n+3＜1，即(2n+3)lg(45)＜-1，亦即2n+3＞-13lg2-1，∴n＞12-6lg2-32≈3.7．                        …（11分）
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分）
又G(3)=102×(45)16=100×0.0281=2.81，G(4)=103×(45)25=1000×0.0038=3.8，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）

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解析

x2+3x+bx≥1x2+x+2+bx＜1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.