已知函数f(x)=12(ax-a-x)，(a＞1，x∈R)．判断函数f的奇偶性和单调性；对于函数f，当x∈时，有f（

题文

（备用）已知函数f(x)=12(ax-a-x)，(a＞1，x∈R)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求实数t的集合A． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x） 定义域为R，
f(-x)=12(a-x-ax)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数；
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=12(ax1-a-x1)-12(ax2-a-x2)
=12(ax1-ax2+1ax2-1ax1)
=12(ax1-ax2)(1+1ax1ax2)，
∵a＞1，x₁＜x₂，
∴ax1-ax2＜0，1+1ax1ax2 ＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函数．
（2）∵f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函数，且在R上为增函数，
∴f（1-t）＜f（t²-1），
∵t∈（-1，1），
∴-1＜1-t＜1-1＜t2-1＜11-t＜t2-1，即0＜t＜20＜t2＜2t2+t-2＞0，
解得1＜t＜2，
∴集合A={t|1＜t＜2}．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“（备用）已知函数f(x)=12(ax-a.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.