已知函数f=2x，x∈R．解方程：f-f=8；设a∈R，求函数g=f+a•4x在区间[0，1]上的最大值M

题文

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；
（Ⅱ）设a∈R，求函数g（x）=f（x）+a•4^x在区间[0，1]上的最大值M（a）的表达式；
（Ⅲ）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）所给的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），
所以x=2．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，
①当a=0时，M（a）=2；
②当a≠0时，令 h(t)=at2+t=a(t+12a)2-14a，
若a＞0，则M（a）=h（2）=4a+2，
若a＜0，当0＜-12a＜1，即a＜-12时，M（a）=h（1）=a+1，
当-12a＞2，即-14＜a＜0时，M（a）=h（2）=4a+2，
当1≤-12a≤2，即-12≤a≤-14时，M(a)=h(-12a)=-14a，
综上，M(a)=4a+2，a＞-14a+1，a＜-12-14a，-12≤a≤-14．
（Ⅲ）由题意知：2x1+2x2=2x1+x22x1+2x2+2x3=2x1+x2+x3，化简可得2x1+x2+2x3=2x1+x2•2x3，
所以2x3=2x1+x22x1+x2-1=tt-1，
其中t=2x1+x2=2x1+2x2≥22x1+x2=2t，所以t≥4，
由2x3=tt-1=11-1t知2x3的最大值是43，又y=2^x单调递增，
所以x3=log243=2-log23．

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解析

12a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.