国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值与其重量的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．写出钻石的价值y关

题文

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率．
（注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx²（2分）
∵3克拉的价值是54000美元
∴54000=k•3²解得：k=6000（4分）
∴y=6000•x²
答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x²．（6分）
（Ⅱ）设两颗钻石的重量为m、3m克拉
则原有价值是6000（4m）²，现有价值是6000m²+6000（3m）²（8分）
价值损失的百分率=6000(4m)2-6000m2-6000(3m)26000(4m)2×100%
=38×100%=37.5%（13分）
答：价值损失的百分率是37.5%．（14分）

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解析

6000(4m)2-6000m2-6000(3m)26000(4m)2

考点

据考高分专家说，试题“国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.