已知函数f=2x试求函数F=f+af，x∈若存在x∈，使|af-f|＞1成

题文

已知函数f（x）=2^x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F(x)max=1+a，a＞-1214a，a≤-12
（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得a＜(t-1t)max或a＞(t+1t)min
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为x+1≤2x+a恒成立
∴a≥(-2x+x+1)max
设m（x）=-2x+x+1令x+1=t，则x=t2-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(t2-1)+t=-2(t-14)2+178
所以，当t=1时，m（x）_max=1∴a≥1

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解析

1+a，a＞-1214a，a≤-12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x（1）试求函数F（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.