某小型机械厂共有工人100名，工人年薪4万元/人．据悉该厂每年生产x台机器，除工人工资外，还需投入成本C，C=13x2+10x(0＜x＜70

题文

某小型机械厂共有工人100名，工人年薪4万元/人．据悉该厂每年生产x台机器，除工人工资外，还需投入成本C（x）（万元），C（x）=13x2+10x    (0＜x＜70)51+10000x-1450   (70≤x≤150)，且每台机器售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x的函数解析式；
（Ⅱ）求年产量为多少台时，该厂在生产中所获利润最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）利用售价减成本，减工人工资，可得年利润
L（x）=50x-13x2-10x-400    (0＜x＜70)50x-51-10000x+1450-400   (70≤x≤150)=-13x2+40x-400    (0＜x＜70)1050-(x+10000x)  (70≤x≤150)；
（Ⅱ）当0＜x＜70时，L（x）=-13(x-60)2+800
∴x=60时，L（x）取得最大值800万元；
当70≤x≤150时，L（x）=1050-（x+10000x）≤1050-2x•10000x=850
当且仅当x=10000x，即x=100时，L（x）取得最大值850万元
综上，年产量为100台时，该厂在生产中所获利润最大，最大为850万元．

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解析

50x-13x2-10x-400    (0＜x＜70)50x-51-10000x+1450-400   (70≤x≤150)

考点

据考高分专家说，试题“某小型机械厂共有工人100名，工人年薪4.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.