设某物体一天中的温度T是时间的函数：T=at3+bt2+ct+d，其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00

题文

设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间单位是小时，t=0表示12：00，取正值表示12：00以后．若测得该物体在8：00的温度是8℃，12：00的温度为60℃，13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8：00和16：00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10：00到14：00这段时间中（包括10：00和14：00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数f（x）在区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）上的平均值为1x2-x1∫x2x1f(x)dx，求该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数可得T′=3at²+2bt+c
∵该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率
∴T′（-4）=T′（4），∴12a-8b+c=12a+8b+c，∴b=0
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∵该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃
∴d=60-64a+16b-4c+a=8a+b+c+d=58，
∴a=1，b=0，c=-3，d=60
∴T（t）=t³-3t²+60（-12≤t≤12）；
（2）T′=3t²-3=3（t+1）（t-1），
令T′＞0，可得t＜-1或t＞1；令T′＜0，可得-1＜t＜1
∴函数在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
∵T（-2）=58，T（-1）=62，T（1）=58，T（2）=62
∴t=-1或t=2时，T（t）取到最大值62，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃；
（3）由题意可得该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度为：
14-(-4)∫4-4(t3-3t2+60)dt=18(14t4-t3+60t)|4-4=14．
所以该物体在8：00到16：00这段时间内的平均温度14℃．

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解析

d=60-64a+16b-4c+a=8a+b+c+d=58

考点

据考高分专家说，试题“设某物体一天中的温度T是时间的函数：T（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.