建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域

题文

建造一个容积为8m³深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设总造价为y元，一边长为xm，则y=4×120+2(4x×2+x×2)×80，
即：y=(4x+x)×320+480定义域为（0，+∞）；
（2）函数y=(4x+x)×320+480在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；
用定义证明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则y₁-y₂=(4x1+x1)×320+480-(4x2+x2)×320-480
=320(4x1-4x2+x1-x2)
=320(x1-x2)(x1x2-4)x1x2，
①当0＜x₁＜x₂≤2时，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0；
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0；
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值y_min=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．

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解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“建造一个容积为8m3深为2m的长方体形无.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.