已知函数f和g的图象关于点对称，且f=2x．求函数g的解析式；若h=f-λg+2λ在[

题文

已知函数f（x）和g（x）的图象关于点（1，1）对称，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于点（1，1）的对称点为P（x，y），则x0+x2=1y0+y2=1即x0=2-xy0=2-y.（4分）
∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上，y0=2x0
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） h(x)=f(x)-λg(x)+2λ=2x-λ(2-42x)+2λ=2x+4λ2x（7分）
设1≤x₁＜x₂，h(x1)-h(x2)=2x2+4λ2x2-(2x1+4λ2x1)
=2x2-2x1+4λ2x2-4λ2x1=2x2-2x1+4λ(2x1-2x2)2x2+x1
=(2x2-2x1)(2x1+x2-4λ)2x2+x1（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函数h（x₂）-h（x₁）＞0，
(2x2-2x1)(2x1+x2-4λ)2x2+x1＞0⇒2x1+x2-4λ＞0（12分）
⇒2x1+x2＞4λ，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
⇒2x1+x2＞4，∴4≥4λ∴0＜λ≤1为所求                                            （14分）

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解析

x0+x2=1y0+y2=1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）和g（x）的图象关于点（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.