建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2求总造价关于底面一边长的函数解析式，并指出函数的定义

题文

建造一个容积为8m³，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于底面一边长的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设底边一边长为xm，总造价为y元，则
由题意，知底面面积为4m²，则底面另一边长为4xm，
∴y=120×4+80×(4x+4×4x)=480+320(x+4x)，x∈（0，+∞）
（2）当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+4x)是单调递减的函数，证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜2，则f(x1)-f(x2)=320(x1+4x1)-320(x2+4x2)=320[(x1-x2)+(4x1-4x2)]
=320[(x1-x2)+4(x2-x1)x1x2]=320×(x1-x2)(x1x2-4)x1x2
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
故当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+4x)是单调递减的函数
同理可证明当x＞2时，y=f(x)=480+320(x+4x)是单调递增的函数
∴当x=2时，y=f(x)=480+320(x+4x)在（0，+∞）上取到最小值，
最小值为f(2)=480+320(2+42)=1760元
答：（1）总造价y元关于底面一边长xm的函数解析式为y=480+320(x+4x)，此时此函数的定义域为（0，+∞）（2）总造价的最小值为1760元．

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解析

4x

考点

据考高分专家说，试题“建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.