某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x，其总成本为G，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生

题文

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足：R（x）=-0.4x2+4.2x-0.8   (0≤x≤5)10.2                         (x＞5).
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．
（1）试写出利润函数p（x）的函数表达式．
（2）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？
（3）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，G（x）=x+2．
设利润函数为p（x），
则p（x）=-0.4x2+3.2x-2.8   (0≤x≤5)8.2-x                    (x＞5).（4分）
（2）要使工厂有赢利，
即解不等式p（x）＞0，（5分）
当0≤x≤5时，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，
即x²-8x+7＜0，
∴1＜x＜7．
∴1＜x≤5；                            （7分）
当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，
得x＜8.2，
∴5＜x＜8.2．（9分）
综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，
即产品应控制在大于100台且小于820台的范围            （11分）
（3）0≤x≤5时，
f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．
故当x=4时，f（x）有最大值3.6． （14分）
而当x＞5时，
f（x）＜8.2-5=3.2．
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．（16分）

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解析

-0.4x2+3.2x-2.8   (0≤x≤5)8.2-x                    (x＞5).

考点

据考高分专家说，试题“某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.