甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时．已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v

题文

甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时，
汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
∴汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为200v小时，（1分）
全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：
y=（50+0.02v²）•200v=10000v+4v，v∈（0，50]．（5分）
（2）令f（v）=10000v+4v，
设0＜v1＜v2 ≤50，（6分）
f（v₁）-f（v₂）=10000v1+4v1-(10000v2+4v2)，（8分）
由v₁＜v₂，得v₁-v₂＜0，又v₁＜v₂≤50，得v₁v₂＜2500，且v₁v₂＞0，
∴f（v₁）＜f（v₂）＜0，（10分）
则f（v）在（0，50]上单调递减，（11分）
∴f（v）_min=f（50）．
答：为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶．（12分）

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解析

200v

考点

据考高分专家说，试题“甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.