题文
已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=1时，f（x）=lnx+2x，定义域为（0，+∞），f′(x)=1x-2x2=x-2x2．
所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；
（2）由f(x)=lnx+2ax，a∈R，所以f′(x)=1x-2ax2=x-2ax2．
若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则f′(x)=x-2ax2≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤x2在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=1x-2ax2=x-2ax2，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，a=32，不合题意；
若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．
当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以当2a≤1，即a≤12时，f（x）在[1，e]上为增函数，
最小值为f（1）=2a=3，a=32，不合题意；
当2a≥e，即a≥e2时，f（x）在[1，e]上为减函数，
最小值为f（e）=1+2ae=3，a=e，符合题意；
当1＜2a＜e，即12＜a＜e2时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=e22不合题意．
综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．
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解析
2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
