已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知{3l104}={3m104}={3n104}，其中{x}=x-[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．

题文

已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知{3l104}={3m104}={3n104}，其中{x}=x-[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．则这种三角形周长的最小值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵{3l104}={3m104}={3n104}，∴3^l、3^m、3ⁿ的末四位数字相同，，
即求满足3^l°3^m≡3ⁿ（ mod 10⁴）的l、m、n．∴3ⁿ（3^l-n-1）≡0 （mod 10⁴）．（l-n＞0）
但 （3ⁿ，10⁴）=1，故必有3^l-n≡1（mod 10⁴）；同理3^m-n≡1（mod 10⁴）．
下面先求满足3^x≡1（mod 10⁴）的最小正整数x．
∵j（10⁴）=10⁴´´=4000．故x|4000．用4000的约数试验：
∵x=1，2，时3^x1（mod 10），而3⁴≡1（mod 10），∴x必须是4的倍数；
∵x=4，8，12，16时3^x1（mod 10²），而3²⁰≡1（mod 10²），∴x必须是20的倍数；
∵x=20，40，60，80时3^x1（mod 10³），而3¹⁰⁰≡1（mod 10³），∴x必须是100的倍数；
∵x=100，200，300，400时3^x1（mod 10⁴），而3⁵⁰⁰≡1（mod 10⁴）．
即，使3^x≡1（mod 10⁴）成立的最小正整数x=500，从而l-n、m-n都是500的倍数，
设l-n=500k，m-n=500h，（k，h∈N*，k＞h）．
由m+n＞l，即n+500h+n＞n+500k，Þn＞500（k-h）≥500，故n≥501．
取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值．
∴所求周长的最小值为3003．
故答案为3003．

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解析

3l104

考点

据考高分专家说，试题“已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.