某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的

题文

某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持(a6x2+13x)米的距离，其中a为常数且12≤a≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以火车的速度x米/秒，
即  y=2150+10×55+(a6x2+13x)×(55-1)x
=2700x+9ax+18    （0＜x≤20，12≤a≤1）
（2）令2700x=9ax，得x=300a，又由300a=20，得a=34
∴①当34≤a≤1时，300a≤20
由均值定理知当且仅当x=300a时，y=2700x+9ax+18≥22700x×9ax+18=1803a+18
即当x=300a时，y_min=1803a+18
②当12≤a＜34时，300a＞20
∵y′=-2700x2+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函数y=2700x+9ax+18在（0，20]上是减函数，
∴当x=20时，y_min=270020+180a+18=153+180a
答：若12≤a＜34，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若34≤a≤1，则当车队速度为300am/s时，通过隧道所用时间最少

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解析

2150+10×55+(a6x2+13x)×(55-1)x

考点

据考高分专家说，试题“某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.