已知函数f=2x+2-xa．若a=-1，且f=4，求x的值；若a≤4，求证函数f在[1，+∞）上是增函数；若存

题文

已知函数f（x）=2^x+2^-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]²成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a=-1，f（x）=4，可得2^x-2^-x=4，设2^x=t，
则有t-t^-1=4，即t²-4t-1=0，解得t=2±5（2分）
当t=2+5时，有2x=2+5，可得x=log2(2+5)．
当t=2-5时，有2x=2-5，此方程无解．
故所求x的值为log2(2+5)．（4分）
（2）设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)
=(2x1-2x2)+2x2-2x12x1+x2a
=2x1-2x22x1+x2(2x1+x2-a)（7分）
由x₁＞x₂，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0
由x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＞x₂，可得x₁+x₂＞2，
故2x1+x2＞4＞0，
又a≤4，故2x1+x2＞a，即2x1+x2-a＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）因为函数f（x）=2^x+2^-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]²⇔2^2x+2^-2x＞2^2x+2a+2^-2xa²⇔2^-2x（a²-a）+2a＜0（12分）
设t=2^-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[14，1]，
由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]²，
可得存在t∈[14，1]，使得（a²-a）t+2a＜0，（14分）
令g（t）=（a²-a）t+2a＜0，
故有g(14)=14(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a²-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．（16分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.