某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9

题文

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9≤x≤11），预计一年的销售量为（20-x）²万本．
（1）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；
（2）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，并求出L的最大值R（m）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．…（4分）
（2）求导函数可得L′（x）=（20-x）（30+2m-3x）．…（6分）
令L′=0得x=10+23m或x=20（不合题意，舍去）．…（7分）
∵1≤m≤3，∴323≤10+23m≤12．
在x=10+23m两侧L′的值由正变负．
所以①当323≤10+23m＜11，即1≤m＜32时，L_max=L（10+23m）=4（5-m3）³．…（9分）
②当11≤10+23m≤12，即32≤m≤3时，L_max=L（11）=81（6-m），…（11分）
所以R（m）=4(5-m3)3，1≤m＜3281(6-m)，32≤m≤3
答：若1≤m＜32，则当每本书定价为10+23m元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=4（5-m3）³（万元）；若32≤m≤3，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=81（6-m）（万元）．…（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.