已知函数f=a-22x+1，a为实数试用单调性定义证明对任意实数a，f在其定义域上为增函数；试确定a的值，使f为奇函数．

题文

已知函数f（x）=a-22x+1（x∈R），a为实数
（1）试用单调性定义证明对任意实数a，f（x）在其定义域上为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x₁＜x₂
∵f（x₁）-f（x₂）=-22x1+1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
由题设可得 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数在其定义域上为增函数．
（2）要使f（x）为奇函数，需f（0）=a-21+1=0，解得a=1．
经过检验，当a=1时，函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．

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解析

22x1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a-22x+1（x∈R.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.