题文
（本小题满分14分）已知函数
，
，
为常数．
（1） 求函数
的定义域
；
（2） 若
时，对于
，比较
与
的大小；
（3） 讨论方程
解的个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解:（1）由
，得：
，
∴函数
的定义域
． ……………………………………3分
（2）令
，
则
时，
。
又
（仅在
时，
）
∴
在
内是增函数， ……………………………………6分
∴当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
． ……………………………………8分
（3）讨论方程
解的个数，即讨论
零点的个数．
因为
，
所以
①当
时，
，
，所以
（仅在
时，
）
在
内是增函数，
又
，
所以
有唯一零点； ……………………………………9分
②当
时，由（2）知
有唯一零点； ……………………………………10分
③当
时，
，
（仅在
时，
）
所以
在
内是增函数，
又
，
所以
有唯一零点； ……………………………………11分
④当
时，
，
，或
时，
，
递增，
时，
，
递减．
,
;
时，
;
时，
，
∴
在区间
，
及
内各有一个零点．
……………………………………13分
综上，当
时，方程
有唯一解；
当
时，方程
有三个解． ……………………………………14
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数，，为常数．.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
