题文
（本小题满分14分）已知函数
，
，
，其中
且
.
（I）求函数
的导函数
的最小值；
（II）当
时，求函数
的单调区间及极值；
（III）若对任意的
，函数
满足
，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（I）
，其中
.
因为
，所以
，又
，所以
，
当且仅当
时取等号，其最小值为
. ……………………………4分
（II）当
时，
，
.
………………………………………………………..6分
的变化如下表：
0
0
所以，函数
的单调增区间是
，
；单调减区间是
.
……………………………………………………………….8分
函数
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
.
……………………………………………………………….10分
（III）由题意，
.
不妨设
，则由
得
. ……………12分
令
，则函数
在
单调递增.
在
恒成立.
即
在
恒成立.
因为
，因此，只需
.
解得
.
故所求实数
的取值范围为
. …………………………………….14分
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解析
0
0
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数，，，其中且.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
