设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，。⑴求证：，且当时，有；⑵判断在R上的单调性；⑶设集合，集合，若A∩B＝，求a的取值范围。

题文

（满分14分）设函数

的定义域是R，对于任意实数

，恒有


，且当

时，

。
⑴求证：

，且当

时，有

；
⑵判断

在R上的单调性；
⑶设集合

，集合

，若A∩B＝

，求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：⑴f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，0<f(x)<1，∴f(0)=1；设m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝

>1。
⑵设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴0<f(x₂－x₁)<1，∴f(x₂)－f(x₁)＝f[(x₂－x₁)+x₁]－f(x₁)＝f(x₂－x₁)f(x₁)－f(x₁)＝f(x₁)[f(x₂－x₁)－1]<0，∴f(x)在R上单调递减。
⑶∵f(x²)f(y²)>f(1)，∴f(x²+y²)>f(1)，由f(x)单调性知x²+y²<1，又f(ax－y+2)=1=f(0)，
∴ax－y+2=0，又A∩B＝

，∴

，∴a²+1≤4，从而

。

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（满分14分）设函数的定义域是R，对于任.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.