(本小题满分12分)若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．

题文

(本小题满分12分)若函数y＝lg(3－4x＋x²)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2^x＋2－3×4^x的最值及相应的x的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：y＝lg(3－4x＋x²)，∴3－4x＋x²>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}．
f(x)＝2^x＋2－3×4^x＝4×2^x－3×(2^x)².
令2^x＝t，∵

x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.
∴f(x)＝4t－3t²＝－3²＋(t>8或0<t<2)．
由二次函数性质可知：当0<t<2时，f(x)∈，
当t>8时，f(x)∈(－∞，－160)，
当2^x＝t＝，即x＝log₂时，f(x)＝.
综上可知：当x＝log₂时，f(x)取到最大值为，无最小值．

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)若函数y＝lg(3－.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.