(本小题满分12分) 试讨论函数f(x)=loga(a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.

题文

(本小题满分12分)
试讨论函数f(x)=log_a

(a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解:设u=

,任取x₂＞x₁＞1,则
u₂－u₁=


=


=

.
∵x₁＞1,x₂＞1,∴x₁－1＞0,x₂－1＞0.
又∵x₁＜x₂,

∴x₁－x₂＜0.
∴

＜0,即u₂＜u₁.
当a＞1时,y=log_ax是增函数,∴log_au₂＜log_au₁,
即f(x₂)＜f(x₁);
当0＜a＜1时,y=log_ax是减函数,∴log_au₂＞log_au₁,
即f(x₂)＞f(x₁).
综上可知,当a＞1时,f(x)=log_a

在(1,+∞)上为减函数;当0＜a＜1时,f(x)=log_a

在(1,+∞)上为增函数.

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分) 试讨论函数f(x).....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.