设函数f的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f=ff，且当x>0时，0<f<1。

题文

（本小题满分12分）设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0<f（x）<1。
（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，有f（x）>1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
⑶设集合A＝{（x,y）|f（x²）f（y²）>f（1）}，集合B＝{（x,y）|f（ax－y+2）=1,a∈R}，若A∩B＝

，求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：⑴f（m+n）=f（m）f（n），令m=1,n=0，则f（1）=f（1）f（0），且由x>0时，0<f（x）<1，∴f（0）=1；设m=x<0，n=－x>0，∴f（0）=f（x）f（－x），∴f（x）＝

>1。……………4分
⑵设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴0<f（x₂－x₁）<1，∴f（x₂）－f（x₁）＝f[（x₂－x₁）+x₁]－f（x₁）＝f（x₂－x₁）f（x₁）－f（x₁）＝f（x₁）[f（x₂－x₁）－1]<0，∴f（x）在R上单调递减。……………8分
⑶∵f（x²）f（y²）>f（1），∴f（x²+y²）>f（1），由f（x）单调性知x²+y²<1，又f（ax－y+2）=1=f（0），
∴ax－y+2=0，又A∩B＝

，∴

，∴a²+1≤4，从而

。……12分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数f（x）的定义.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.