已知函数是在上每一点处均可导的函数，若在上恒成立。①求证：函数在上是增函数；②当时，证明：；已知不等式在且时恒成立，求证：…

题文

（20分）已知函数

是在

上每一点处均可导的函数，若

在

上恒成立。
（１）①求证：函数

在

上是增函数；
②当

时，证明：

；
（２）已知不等式

在

且

时恒成立，求证：


…

题型：未知 难度：其他题型

答案

解（１）①由

，

，由

可知

在

上恒成立，
从而有

在

上是增函数。
②由①知

在

上是增函数，当

时，有


，于是有：


两式相加得：


（２）由（Ⅰ）②可知：

，（

）恒成立
由数学归纳法可知：

时，有：


恒成立
设

，则，则

时，


恒成立
令

，记


又

，
又








将（**）代入（*）中，可知：

…




于是：

…

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（20分）已知函数是在上每一点处均可导的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.