已知函数的导函数，数列{}的前n项和为，点均在函数的图象上．若=⑴当n≥2时，试比较与的大小；⑵记试证

题文

已知函数

的导函数

，数列{

}的前n项和为

，点

（n，

）均在函数

的图象上．若

=

（

+3）
⑴当n≥2时，试比较

与

的大小；
⑵记

试证

题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）

∴


∴

，故



，………………………………………2分
当

≥2时，

=

-

=2

-3，……………………………………………………3分


=

=-1适合上式，因此

=2

-3（n∈N^*）……………………………………4分
从而b_n="n,"

="n+1,"

=2ⁿ
当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+ C_n¹+…>n+1
故

>

=2ⁿ
⑵





…………10分



…………12分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知函数的导函数，数列{}的前n项和为，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.