题文
（14分）已知函数
，
，记
.
（1）若
，且
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若
，且
存在单调递减区间，求
的取值范围；
（3）若
，设函数
的图象
与函数
图象
交于点
、
，过线段
的中点作
轴的垂线分别交
，
于点
、
，请判断
在点
处的切线与
在点
处的
切线能否平行，并说明你的理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）不等式
，函数
，
，
，
先增后减
最大值为
，
（2）
，
则
当
时，
时，
，函数为减函数；
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，
－1<a<0，
综上：
（3）不能平行。
设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行得：
，点P、Q的坐标代入函数表达式
两式相减得：
设
则
令
得用导数得
在
）上单调递增. 故
所以
不成立，即两切线不可能平行。
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（14分）已知函数，，记.（1）若，且在.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
