题文
已知
是二次函数，
是它的导函数，且对任意的
，
恒成立．
（1）求
的解析表达式；
（2）设
，曲线
：
在点
处的切线为
，
与坐标轴围成的三角形面积为
．求
的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
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解析
本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，求导的能力、运算的能力、问题转换的能力以及数形结合的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．（1）可以现设出二次函数的表达式，结合信息获得多项式相等进而利用对应系数相等解得参数，即可明确函数解析式；
（2）结合函数的解析式通过求导很容易求的在点P（t，f（t））处的切线l，由此即可表示出三角形的面积关于t的函数S（t）．从而利用导函数知识即可求得函数S（t）的最小值
解：（Ⅰ）设
（其中
），则
， ………1分
．
由已知，得
，
∴
，解之，得
，
，
，∴
． ……4分
（2）由（1）得，
，切线
的斜率
，
∴切线
的方程为
，即
． …………6分
从而
与
轴的交点为
，
与
轴的交点为
，
∴
（其中
）． ………8分
∴
． ……………10分
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，
是增函数． ……12分
∴
． …………13分
考点
据考高分专家说，试题“已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
