定义在R上的偶函数满足，时，。求时，的解析式；求证：函数在区间上递减。

题文

（本题满分12分）定义在R上的偶函数

满足，

时，

。
（1）求

时，

的解析式；
（2）求证：函数

在区间

上递减。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）

时，

；（2）

在

上递减。

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解析

本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题
1）欲求x＜0时的解析式，根据偶函数f（x）的性质，先设x＜0时，f（x）=f（-x）即可求得；
（2）利用函数单调性的定义证明，任取x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，作差f(x₁)-f(x₂)与0比较即可
解：（1）

时，

；
（2）任取

且

，∵


而

，

，∴

，即

，
∴

在

上递减。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）定义在R上的偶函数满足.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.