题文
已知函数
(其中a,b为实常数)。
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间：
（Ⅱ）当
时，函数
有三个不同的零点，证明：
：
（Ⅲ）若
在区间
上是减函数，设关于x的方程
的两个非零实数根为
，
。试问是否存在实数m,使得
对任意满足条件的a及t
恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．
（II）-a
]．
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解析
（I）求导函数，对参数a进行讨论，利用导数的正负，确定函数的单调区间；
（II）确定f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a3，要使f（x）有三个不同的零点，则f(0)＞0，f(a)＜0，从而得证；
（III）先确定|x1-x2|=
，并求得其最小值，假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤（
）min，即m2+tm+1≤4，即m2+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，从而可求m的范围．
解：（I）∵
，
当a=0时，
≥0，于是
在R上单调递增；
当a>0时，x∈(0，a)，
，得
在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，
，得
在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增；
当a<0时，
，
，得
在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，
得
在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增．
综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．……3分
（II）当a>0时，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数；则f(x)的极大值为f(0)=a+b，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a3．
要使f(x)有三个不同的零点，则
即
可得-a
（III）由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b，得x3-ax2-3x=0即x(x2-ax-3)=0，
由题意得x2-ax-3=0有两非零实数根x1，x2，则x1+x2=a，x1x2=-3，
即
.∵ f (x)在[1，2]上是减函数，
∴
≤0在[1，2]上恒成立，
其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴
≥4．
假设存在实数m满足条件，则m2+tm+1≤(
)min，即m2+tm+1≤4，即m2+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴
解得
．
∴ 存在实数m满足条件，此时m∈[
]． …………………14分
点评：解决该试题的关键是利用导数的正负对于函数单调性的影响得到函数单调区间，进而分析极值问题，以及构造函数的思想求证函数的最值，解决恒成立问题的运用。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数(其中a,b为实常数)。（Ⅰ）讨.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
