题文
（本题满分13分）设函数
，且
，
，求证：（1）
且
；
（2）函数
在区间
内至少有一个零点；
（3）设
是函数
的两个零点，则
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）根据，求出
，再根据
即可得证；（2）先求出
和
，根据零点存在定理分
和
讨论即可得证；
（3）利用韦达定理和第（1）问的结论即可得证.
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解析
(1)
,
,
又
，
,
， ……2分
又
. ……4分
（2）
①当
时，
，
函数
在区间
内至少有一个零点
②当
时，
，
，
函数
在区间
内至少有一个零点
综上所述：函数
在区间
内至少有一个零点。 ……8分
（3）
是函数
的两个零点，
，
. ……13分
点评：证明此类问题时，要充分利用不等式的性质和题设条件，尽量每一步都做到言之有据.
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分13分）设函数，且，，求证：（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
