(本小题满分14分)已知函数f (x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.(1)当b=0时，若对x∈均有f (x)≥h(x)≥g(x)成

题文

(本小题满分14分)
已知函数f (x)=e^x，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.
(1)当b=0时，若对

x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x₁, f (x₁))和(x₂, g(x₂))，其中x₁>0.
①求证：x₁>1>x₂；
②若当x≥x₁时，关于x的不等式ax₂－x+xe

+1≤0恒成立，求实数a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[

，e]（2）①分别求f(x)和g(x)在点(x₁, f (x₁))和(x₂, g(x₂))的切线，记为公切线，所以斜率和截距分别相同，从而得证结论；②（－∞，1]

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

(1)依题意对

x∈（0，+∞）均有e^x≥kx≥lnx成立，
即对任意

x∈（0，+∞）均有

≥k≥

成立，                         ……1分
∴(

)_min≥k≥

，
因为

=

，故

在（0，1）上减，（1，+∞）增，
∴（

）_min=e，
又

 ，故

在（0，e）上减，（e，+∞）增，
∴

 ，即k的取值范围是[

，e] .                              ……5分
(2)由题知：h(x)即为y－e

= e

(x－x₁)即y=e

·x+ e

－x₁ e

,
也为y=lnx₂=

即y=

+lnx₂－1,
∴

,                                                ……6分
又x₁=0   ∴e

>1 即

>1

x₁>1即x₁>1>x_2,                                                      ……8分
(3)令F(x)=ax₂－x+xe

+1(x≥x₁),
∴F′(x)= －1－xe

+e

=－1+e

(1－x)( x≥x₁₎
又x≥x₁>1    F′(x)= －1－xe

+e

=－1+e

(1－x)<0,
即F(x)=ax₂－x+xe

+1(x≥x₁)单减,
所以只要F(x)≤F(x₁)= ax₂－x₁+₁xe

+1≤0,
即a+ x₁－x₁e

+ e

≤0.                                                  ……12分
由

,
∴

,
即


故只要

≤0得：a≤1,
综上，实数a的取值范围是（－∞，1].                                    ……14分
点评：导数是研究函数性质的有力工具，要熟练应用，而恒成立问题一般要转化为最值问题解决.

考点

据考高分专家说，试题“ (本小题满分14分)已知函数f (x).....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.