题文
(本题满分13分)设函数
满足：
都有
，且
时，
取极小值
（1）
的解析式；
（2）当
时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（3）设
, 当
时,求函数
的最小值,并指出当
取最小值时相应的
值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2) 根据题意可知，由于
，设：任意两数
是函数
图像上两点的横坐标，则这两点处的切线的斜率分别是：
，那么可以判定斜率之积不是-1，说明不能垂直
(3) 故当
时,
有最小值
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解析
解：（
）因为，
成立，所以：
，
由：
，得
，
由：
，得
解之得：
从而，函数解析式为：
(4分)
（2）由于，
，设：任意两数
是函数
图像上两点的横坐标，则这两点处的切线的斜率分别是：
又因为：
，所以，
，得：
知：
故，当
是函数
图像上任意两点处的切线不可能垂直 (8分)
（3）当
时，
且
此时
(11分)
当且仅当：
即
即，取等号，
所以
故当
时,
有最小值
(13分)
(或
)
点评：解决的关键是利用导数的符号确定出函数单调性，以及函数的极值，从而比较极值和端点值的函数值得到最值，属于基础题。
考点
据考高分专家说，试题“(本题满分13分)设函数满足：都有，且时.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
