题文
(本小题满分12分)已知函数
.
(1)判断函数
在定义域上的单调性;
(2)利用题(1)的结论,,求使不等式
在
上恒成立时的实数
的取值范围? 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)在
,
上是增函数,在
,
上是减函数.
(2)
.
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解析
(1)法一:用单调性定义可解.
法二:
,
当
;
.……4分
所以
在
,
上是增函数,在
,
上是减函数.…5分
(2)
在
上恒成立,
在
上恒成立,
由(1)中结论可知,函数
在
上的最大值为10,此时
.
要使原命题成立,当且仅当
,
,解得
或
,…11分
实数
的取值范围是
.
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)作为 “恒成立问题”,转化成求函数最值问题。由本题看“对号函数”的性质值得关注。
考点
据考高分专家说,试题“(本小题满分12分)已知函数.(1)判断.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义:恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f(x)=a·bx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1)的形式,进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:
;②
.无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.
(2)对于形如
一类的指数型复合函数,有以下结论:
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同;
②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数
的值域;
③当a>l时,函数
与函数f(x)的单调性相同;当O与函数f(x)的单调性相反.