已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增。求的解析式；若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围

题文

（本小题共12分）
已知函数

的图象过点

，且在

内单调递减，在

上单调递增。
（1）求

的解析式；
（2）若对于任意的

，不等式

恒成立，试问这样的

是否存在.若存在，请求出

的范围，若不存在，说明理由； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=

x³+

x²－2x+

即为所求.  --------------5分
(2)存在m且m∈[0,1]附合题意

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解析

（1）∵

，--------1分
由题设可知：

即



sinθ≥1， ∴sinθ=1.------3分
从而a=

,∴f(x)=

x³+

x²－2x+c,而又由f(1)=

得c=

.∴f(x)=

x³+

x²－2x+

即为所求.  --------------5分
(2)由

=（x+2）（x－1），
易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数.
①当m＞1时，f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)_max=f(m+3), f(x)_min=f(m)
由f(m+3)－f(m)=

 (m+3)³+

 (m+3)²－2(m+3)－

m³－

m²+2m=3m²+12m+

≤

，
得－5≤m≤1.这与条件矛盾. ------------8分
② 当0≤m≤1时，f(x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增
∴f(x)_min=f(1), f(x)_max=max{ f(m),f(m+3) },
又f(m+3)－f(m)= 3m²+12m+

=3(m+2)²－

＞0(0≤m≤1)
∴f(x)_max= f(m+3)∴|f(x₁)－f(x₂)|≤f(x)_max－f(x)_min= f(m+3)－f(1)≤f(4)－f(1)=

恒成立.
故当0≤m≤1时，原不等式恒成立.----------------11分
综上，存在m且m∈[0,1]附合题意---------------12分
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．

考点

据考高分专家说，试题“（本小题共12分）已知函数的图象过点，且.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.