题文
已知函数
，在
时取得极值．
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）若
时,
恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若
，是否存在实数b，使得方程
在区间
上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
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解析
（Ⅰ）
2分
依题意得
，所以
，从而
4分
（Ⅱ）
令
，得
或
（舍去），
当
时，
当
由讨论知
在
的极小值为
；最大值为
或
，因为
，所以最大值为
，所以
……8分
（Ⅲ）设
,即
，
．
又
，令
，得
；令
，得
．
所以函数
的增区间
，减区间
．
要使方程有两个相异实根，则有
，解得
12分
点评：第一问利用函数在极值点处的导数为零得到系数的值，第二问第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，进而利用函数导数求单调性求极值最值。这种转化思路在函数题目中经常用到，要加强这方面的训练
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，在时取得极值．（Ⅰ）求函数的解.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
