题文
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，有
（其中
为自然对数的底，
）．
（1）求函数
的解析式；
（2）设
，
，求证：当
时，
；
（3）试问：是否存在实数
，使得当
时，
的最小值是3？如果存在，求出实数
的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）构造函数利用函数的最小值大于另一个函数的最大值来证明成立。
（3）当
时，函数
在区间
上的最小值是3
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解析
解：（1）当
时，
，
则
，
又
是奇函数，
所以
，
因此，
； 4分
（2）证明：令
，
当
时，注意到
，所以
5分
① 当
时，注意到
，有
； 6分
② 当
时，
， 7分
故函数
在
上是增函数，从而有
，
所以当
时，有
， 8分
又因为
是偶函数，故当
时，同样有
，即
，
综上所述，当
时，有
； 9分
（2）证法二：当
时，
，
求导得
，令
得
， 5分
于是可得当
时，
；
时，
，
所以
在
处取得最大值
，所以
． 6分
又记
，当
时，有
， 7分
求导得
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，于是
，
所以，在在
上总有
． 8分
注意到
和
的偶函数性质，
所以当
时，有
（
）； 9分
（3）当
时，
，
求导得
，令
得
， 10分
① 当
时，
，
在区间
上是增函数，故此时函数
在区间
上的最小值为
，不满足要求； 11分
② 当
，即
时，
，
所以
在区间
上是增函数，此时函数
在区间
的最小值为
，
令
，得
，也不满足要求； 12分
③ 当
时，可得
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，所以当
时，
，
令
，得
，满足要求． 13分
综上可得，当
时，函数
在区间
上的最小值是3． 14分
点评：解决的关键是根据导数的符号于函数单调性的关系来判定单调性，进而得到最值，属于基础题
考点
据考高分专家说，试题“已知函数是定义在上的奇函数，当时，有（其.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
