题文
已知：在函数
的图象上，以
为切点的切线的倾斜角为
．
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数
，使得不等式
对于
恒成立？如果存在，请求出最小的正整数
；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：
（
，
）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
.
（Ⅱ）存在最小的正整数
，使得不等式
对于
恒成立.
（Ⅲ）
（
，
）.
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解析
（Ⅰ）
，依题意，得
，即
，
.
2分
∵
， ∴
. 3分
（Ⅱ）令
，得
. 4分
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
又
，
，
，
.
因此，当
时，
. 7分
要使得不等式
对于
恒成立，则
.
所以，存在最小的正整数
，使得不等式
对于
恒成立. 9分
（Ⅲ）方法一：
. 11分
又∵
，∴
，
.
∴
. 13分
综上可得，
（
，
）. 14分
方法二：由（Ⅱ）知，函数
在 [-1，
]上是增函数；在[
,
]上是减函数；在[
，1]上是增函数.
又
，
，
，
.
所以，当x∈[-1，1]时，
，即
.
∵
，
∈[-1，1]，∴
，
.
∴
. 11分
又∵
，∴
，且函数
在
上是增函数.
∴
. 13分
综上可得，
（
，
）. 14分
点评：难题，本题综合性较强，对复杂式子的变形能力要求较高。不等式的证明中，灵活运用不等式的性质是一个关键点。
考点
据考高分专家说，试题“已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
