题文
判断y=1-2x3在上的单调性,并用定义证明. 题型:未知 难度:其他题型
答案
先设出变量,然后作差,变形定号,下结论来证明单调性。点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习
解析
证明:任取x1,x2
R,且-
2分
f(x1)-f(x2)
=(1-2x31)-(1-2x32)
=2(x32-x13)
=2(x2-x1)(x22+x1x2+x21)
=2(x2-x1)[(x1+x2)2+
x12] 8分
∵x2>x1∴x0-x1>0,又(x1+x2)2+
x12>0,
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2) 10分
故f(x)=1-2x3在(-
,+
)上为单调减函数。 12分
点评:主要是考查了运用定义法来证明函数单调性的运用,属于基础题。
考点
据考高分专家说,试题“判断y=1-2x3在上的单调性,并用定义.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义:恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f(x)=a·bx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1)的形式,进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:
;②
.无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.
(2)对于形如
一类的指数型复合函数,有以下结论:
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同;
②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数
的值域;
③当a>l时,函数
与函数f(x)的单调性相同;当O与函数f(x)的单调性相反.