题文
已知函数
，
.
(1)设函数
，求函数
的单调区间；
(2)是否存在实数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅱ） (
) ．
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解析
（I）因为，函数
，
.
所以
=
－lnx，其定义域为（0，+
）。
，
当a=0时，由f′（x）＞0，得，
，故f（x）在（
，+∞）上单调递增，在（0，
）单调递减；
当a>0时，由f′（x）＞0，得，
，故f（x）在（
，+∞）上单调递增，在（0，
）单调递减；
当a<0时，由f′（x）＞0，得，
，故f（x）在（
，+∞）上单调递增，在（0，
）单调递减。
（Ⅱ）把方程
整理为
，
即为方程
. 5分
设
，原方程在区间(
)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数
在区间(
)内有且只有两个零点. 6分
7分
令
，因为
，解得
或
（舍） 8分
当
时,
,
是减函数；当
时,
，
是增函数 10分
在(
)内有且只有两个不相等的零点, 只需
即
∴
解得
, 所以
的取值范围是(
) ．
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。（I）中要对a的不同取值情况加以讨论，在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，.(1)设函数，求函数的单调区.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
