已知函数.讨论函数的单调性； 设，证明：对任意，.

题文

已知函数

.
（Ⅰ）讨论函数

的单调性；
（Ⅱ）设

，证明：对任意

，

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）分类讨论得到单调性      （Ⅱ）构造函数用导数的方法证明.      

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解析

(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+

)，

  
当a≥0时，

＞0，故f(x)在(0,+

)单调增加；
当a≤－1时，

＜0, 故f(x)在(0,+

)单调减少；
当－1＜a＜0时，令

＝0,解得x=

.当x∈(0,

)时,

＞0；
x∈(

，+

)时，

＜0, 故f(x)在（0,

）单调增加，在（

，+

）单调减少   
(Ⅱ)不妨设x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+

）单调减少.
所以

等价于

≥4x₁－4x₂,
即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.         
令g(x)=f(x)+4x,则

+4＝

.               
于是

≤

＝

≤0.
从而g(x)在（0，+

）单调减少，故g(x₁) ≤g(x₂)，即 f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，
故对任意x₁,x₂∈(0,+

) ，

.
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属难题．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.